【xlnx的导数是什么】在微积分的学习中，求函数的导数是一个基础而重要的内容。对于函数 $ f(x) = x \ln x $，它的导数可以通过乘积法则来计算。下面将详细说明其推导过程，并以表格形式总结关键信息。
一、函数解析
函数 $ f(x) = x \ln x $ 是一个由两个部分组成的乘积函数：
- 第一部分是 $ x $，
- 第二部分是 $ \ln x $（自然对数）。
为了求这个函数的导数，我们需要使用乘积法则。
二、乘积法则简介
如果函数为 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，那么它的导数为：
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
三、具体推导过程
设：
- $ u(x) = x $
- $ v(x) = \ln x $
则：
- $ u'(x) = 1 $
- $ v'(x) = \frac{1}{x} $
根据乘积法则：
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}
$$
化简得：
$$
f'(x) = \ln x + 1
$$
四、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 函数表达式 | $ f(x) = x \ln x $ |
| 使用的法则 | 乘积法则 |
| 导数公式 | $ f'(x) = \ln x + 1 $ |
| 各部分导数 | $ (x)' = 1 $, $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $ |
| 最终结果 | $ f'(x) = \ln x + 1 $ |
五、结论
通过应用乘积法则，我们得出函数 $ x \ln x $ 的导数为 $ \ln x + 1 $。这一结果在微积分中具有广泛应用，特别是在处理涉及对数和多项式的复合函数时。掌握这一方法有助于更深入地理解导数的应用与计算技巧。
