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正切的原函数怎么求

2025-10-15 05:05:36

问题描述:

正切的原函数怎么求,有没有大佬愿意带带我?求帮忙!

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2025-10-15 05:05:36

正切的原函数怎么求】在微积分中,求一个函数的原函数是积分运算的核心内容之一。对于正切函数 $ \tan(x) $,其原函数并不是像多项式或三角函数那样直观,因此需要通过一些技巧来求解。

一、正切的原函数是什么?

正切函数 $ \tan(x) $ 的原函数为:

$$

\int \tan(x) \, dx = -\ln \cos(x) + C

$$

其中,$ C $ 是积分常数。

这个结果可以通过将 $ \tan(x) $ 表示为 $ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $,然后使用代换法进行积分得到。

二、推导过程简要说明

1. 表达式变形

将 $ \tan(x) $ 写成 $ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $。

2. 变量替换

令 $ u = \cos(x) $,则 $ du = -\sin(x) \, dx $。

3. 代入积分

原式变为:

$$

\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx = -\int \frac{1}{u} \, du

$$

4. 积分计算

$$

-\int \frac{1}{u} \, du = -\ln u + C = -\ln \cos(x) + C

$$

三、总结与表格对比

函数名称 原函数 积分常数 积分区间限制
$ \tan(x) $ $ -\ln \cos(x) + C $ $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $(k为整数)

四、注意事项

- 正切函数在 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ 处不连续,因此在这些点附近不能直接积分。

- 在实际应用中,应根据定义域选择合适的积分区间。

- 如果需要对 $ \tan(x) $ 进行定积分,必须确保积分区间内没有不连续点。

五、小结

正切函数的原函数是 $ -\ln \cos(x) + C $,其求解过程依赖于变量替换和对数函数的积分性质。掌握这一方法有助于理解更复杂的三角函数积分问题。

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