【正切的原函数怎么求】在微积分中,求一个函数的原函数是积分运算的核心内容之一。对于正切函数 $ \tan(x) $,其原函数并不是像多项式或三角函数那样直观,因此需要通过一些技巧来求解。
一、正切的原函数是什么?
正切函数 $ \tan(x) $ 的原函数为:
$$
\int \tan(x) \, dx = -\ln
$$
其中,$ C $ 是积分常数。
这个结果可以通过将 $ \tan(x) $ 表示为 $ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $,然后使用代换法进行积分得到。
二、推导过程简要说明
1. 表达式变形
将 $ \tan(x) $ 写成 $ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $。
2. 变量替换
令 $ u = \cos(x) $,则 $ du = -\sin(x) \, dx $。
3. 代入积分
原式变为:
$$
\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, dx = -\int \frac{1}{u} \, du
$$
4. 积分计算
$$
-\int \frac{1}{u} \, du = -\ln
$$
三、总结与表格对比
函数名称 | 原函数 | 积分常数 | 积分区间限制 | ||
$ \tan(x) $ | $ -\ln | \cos(x) | + C $ | 是 | $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $(k为整数) |
四、注意事项
- 正切函数在 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ 处不连续,因此在这些点附近不能直接积分。
- 在实际应用中,应根据定义域选择合适的积分区间。
- 如果需要对 $ \tan(x) $ 进行定积分,必须确保积分区间内没有不连续点。
五、小结
正切函数的原函数是 $ -\ln
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