【反三角函数公式是什么】反三角函数是三角函数的反函数，用于根据已知的三角函数值求出对应的角度。它们在数学、物理、工程等领域有广泛应用。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。
为了更清晰地展示这些函数的定义、定义域、值域以及一些基本公式，以下是对反三角函数公式的总结：
一、反三角函数的基本定义
| 函数名称 | 符号表示 | 定义 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | arcsin(x) | 若 $ \sin(\theta) = x $，则 $ \theta = \arcsin(x) $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $ |
| 反余弦 | arccos(x) | 若 $ \cos(\theta) = x $，则 $ \theta = \arccos(x) $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | $ 0 \leq \theta \leq \pi $ |
| 反正切 | arctan(x) | 若 $ \tan(\theta) = x $，则 $ \theta = \arctan(x) $ | $ x \in \mathbb{R} $ | $ -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} $ |
二、反三角函数的常用公式
| 公式 | 说明 |
| $ \arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} $ | 正弦与余弦的反函数之和为 $ \frac{\pi}{2} $ |
| $ \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} $（当 $ x > 0 $） | 正切与倒数的反函数之和为 $ \frac{\pi}{2} $ |
| $ \arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) $（当 $ xy < 1 $） | 反正切的加法公式 |
| $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $ | 反正弦是奇函数 |
| $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $ | 反余弦是偶函数（但不是奇函数） |
| $ \arctan(-x) = -\arctan(x) $ | 反正切是奇函数 |
三、反三角函数的导数公式
| 函数名称 | 导数 |
| $ \frac{d}{dx} \arcsin(x) $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arccos(x) $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ \frac{d}{dx} \arctan(x) $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
四、反三角函数的积分公式
| 函数名称 | 积分表达式 |
| $ \int \arcsin(x) \, dx $ | $ x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arccos(x) \, dx $ | $ x \arccos(x) - \sqrt{1 - x^2} + C $ |
| $ \int \arctan(x) \, dx $ | $ x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
总结
反三角函数是解决已知三角函数值求角度问题的重要工具，掌握其定义、性质和相关公式对学习高等数学、物理和工程学具有重要意义。通过表格形式可以更直观地了解各函数的定义域、值域及基本运算规则，便于记忆和应用。
