【反三角函数公式】反三角函数是三角函数的反函数，用于求解角度值。在数学中，反三角函数常用于解决与三角函数相关的方程和几何问题。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。以下是这些函数的基本定义、定义域、值域以及一些常用公式。
一、基本定义
| 函数名称 | 数学符号 | 定义 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | arcsin x | y = arcsin x ⇔ sin y = x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| 反余弦 | arccos x | y = arccos x ⇔ cos y = x | [-1, 1] | [0, π] |
| 反正切 | arctan x | y = arctan x ⇔ tan y = x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
二、常见反三角函数公式
| 公式 | 说明 |
| arcsin(-x) = -arcsin x | 反正弦函数为奇函数 |
| arccos(-x) = π - arccos x | 反余弦函数具有对称性 |
| arctan(-x) = -arctan x | 反正切函数为奇函数 |
| arcsin x + arccos x = π/2 | 正弦与余弦的反函数互为补角 |
| arctan x + arctan(1/x) = π/2 (x > 0) | 反正切函数的倒数关系 |
| arctan x + arctan y = arctan[(x + y)/(1 - xy)] | 当xy < 1时成立 |
三、导数公式
| 函数 | 导数 |
| d/dx (arcsin x) | 1 / √(1 - x²) |
| d/dx (arccos x) | -1 / √(1 - x²) |
| d/dx (arctan x) | 1 / (1 + x²) |
四、应用举例
1. 求解三角方程
例如：sin θ = 1/2 ⇒ θ = arcsin(1/2) = π/6 或 5π/6（在[0, π]范围内）
2. 计算几何角度
在直角三角形中，若对边为3，邻边为4，则tan θ = 3/4 ⇒ θ = arctan(3/4)
3. 积分中的应用
∫ dx / (1 + x²) = arctan x + C
五、注意事项
- 反三角函数的值域是根据主值确定的，不同教材可能略有差异。
- 在实际应用中，需注意函数的定义域和值域，避免出现无意义的结果。
- 反三角函数在计算机编程中通常用`asin`, `acos`, `atan`等表示。
通过掌握反三角函数的基本公式和性质，可以更高效地解决与三角函数相关的问题，尤其在微积分、物理和工程领域中具有广泛的应用价值。
