在统计学中，相关系数 \( r \) 是用来衡量两个变量之间线性关系强度和方向的一个重要指标。它的取值范围为 \([-1, 1]\)，其中 \( r = 1 \) 表示完全正相关，\( r = -1 \) 表示完全负相关，而 \( r = 0 \) 则表示两者之间不存在线性关系。

相关系数 \( r \) 的计算公式如下：

\[

r = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i - \bar{x})^2} \cdot \sum{(y_i - \bar{y})^2}}}

\]

公式中的符号含义如下：

- \( x_i \) 和 \( y_i \) 分别表示两个变量的第 \( i \) 个观测值；

- \( \bar{x} \) 和 \( \bar{y} \) 分别是两个变量的平均值；

- 分子部分表示两组数据的协方差；

- 分母部分是两个变量标准差的乘积，用于归一化处理，使得 \( r \) 的取值被限制在 \([-1, 1]\) 范围内。

通过该公式的计算，我们可以直观地了解两个变量之间的关联程度。例如，在经济学中，研究收入与消费的关系时，可以通过计算相关系数来判断二者是否存在显著的线性联系；而在医学领域，相关系数也可以帮助分析药物剂量与疗效之间的潜在联系。

需要注意的是，虽然相关系数能够反映变量间的线性关系，但它并不能证明因果关系。因此，在实际应用中，我们还需要结合其他分析方法进一步验证结论的可靠性。

总之，掌握相关系数 \( r \) 的计算公式及其应用场景，对于数据分析和科学研究具有重要意义。