【以三角形的三边做等边三角形,顶点分别为A B C 证AA BB CC】一、
本题的核心是通过给定一个任意三角形，分别在它的三边上构造等边三角形，并以这些等边三角形的顶点为新的点A'、B'、C'，最后证明线段AA'、BB'、CC'具有某种几何性质。常见的结论是：若在△ABC的三边上分别向外（或向内）作等边三角形，那么由这三个等边三角形的第三顶点所形成的三条线段AA'、BB'、CC'将交于一点，即它们共点。
这种几何现象被称为“费马点”或“等边三角形共点定理”，是平面几何中一个经典的构图与证明问题。
二、关键步骤与证明思路
1. 构造等边三角形
在△ABC的三边AB、BC、CA上分别向外（或向内）作等边三角形，设其第三顶点分别为A'、B'、C'。
2. 连接对应顶点
连接线段AA'、BB'、CC'。
3. 证明共点性
通过旋转、全等三角形、相似三角形等方法，证明这三条线段交于同一点。
4. 结论
AA'、BB'、CC'三条线段共点，即它们相交于一点。
三、表格展示
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 给定任意三角形△ABC |
| 2 | 在AB、BC、CA三边上分别构造等边三角形，顶点分别为A'、B'、C' |
| 3 | 连接线段AA'、BB'、CC' |
| 4 | 使用几何变换（如旋转）证明三条线段共点 |
| 5 | 结论：AA'、BB'、CC'三条线段交于同一点 |
四、小结
本题通过构造等边三角形并连接对应顶点，展示了平面几何中的对称性与共点性。虽然题目简短，但背后蕴含着丰富的几何思想，包括旋转、全等三角形、共点定理等内容。通过系统分析与逻辑推理，可以清晰地理解这一经典几何命题的证明过程。
注： 本题常见变体还包括使用内等边三角形或外等边三角形，不同的构造方式可能影响最终结果的方向，但核心结论不变。
