分部积分法公式主要用在对两个乘积项求积分的时候，记得把一部分设为 u，把剩下的因式和 dx 设为 dv，再用 ∫u dv = uv - ∫v du 把原式转成更容易处理的形式。适合多项式乘指数、多项式乘三角、多项式乘对数这类结构，能让积分步骤更清楚，计算过程更顺手。
适用对象
- 被积函数是乘积形式，比如 x e^x、x sin x、x ln x。
- 一个因式求导后会变简单，另一个因式积分后容易保持形式。
- 常见场景是高等数学、微积分基础练习、考研数学复习。
公式样子
| 项目 | 写法 |
|---|---|
| 分部积分法公式 | ∫u dv = uv - ∫v du |
| 使用准备 | 先选出 u，再选出 dv |
| 完成条件 | 右边 ∫v du 变成更基础积分 |
选择 u 和 dv 的办法
| 题目形态 | 建议设为 u | 建议设为 dv | 完成思路 |
|---|---|---|---|
| 多项式乘指数函数 | 多项式 | 指数函数 dx | 求导让多项式降次，积分让指数函数保持简洁 |
| 多项式乘三角函数 | 多项式 | 三角函数 dx | 求导让多项式降次，积分让三角函数继续循环 |
| 多项式乘对数函数 | 对数函数或较复杂的函数 | 剩下的因式加 dx | 让后续积分更接近基础形式 |
| 单独出现的对数函数 | 对数函数 | dx | 把 1 看作可积部分，让公式继续展开 |
使用步骤
- 写出原积分。
- 选出 u 和 dv。
- 计算 du 和 v。
- 套入 ∫u dv = uv - ∫v du。
- 继续计算新的积分。
- 最后写上积分常数 C。
示例
以 ∫x e^x dx 为例：
- 选择：u=x，dv=e^x dx。
- 计算：du=dx，v=e^x。
- 套用：∫x e^x dx = x e^x - ∫e^x dx。
- 继续：∫e^x dx = e^x。
- 收尾：结果为 x e^x - e^x + C，也可以写成 e^x(x - 1) + C。
常用搭配
- x 和 e^x 搭配时，让 x 成为 u。
- x 和 sin x 搭配时，让 x 成为 u。
- ln x 单独出现时，让 ln x 成为 u，把 dx 当成 dv。
【常见问题】
问题1 分部积分法公式怎么用 适合哪些题目
回答1 分部积分法公式怎么用 适合处理乘积形式积分，比如 x e^x、x sin x、x ln x。记得先选 u 和 dv，再套公式，让新积分变成更容易计算的形式。
问题2 分部积分法公式怎么用 时怎样选择 u
回答2 分部积分法公式怎么用 时，建议选求导后更简单的那一项作为 u。比如 x ln x 里，ln x 求导后变成 1/x，后续积分会更清爽。
问题3 分部积分法公式怎么用 时怎样选择 dv
回答3 分部积分法公式怎么用 时，dv 通常选剩下的因式加 dx，并且要能顺利找到原函数。比如 ∫x e^x dx 里，选 dv=e^x dx，v=e^x，继续套用公式就很清楚。
问题4 分部积分法公式怎么用 时能不能连续用
回答4 分部积分法公式怎么用 时可以连续使用。只要一次套用后还有乘积积分，就继续按同样思路选择 u 和 dv，直到出现基础积分。
问题5 分部积分法公式怎么用 时怎样确认结果
回答5 分部积分法公式怎么用 时，可以把结果求导。如果导数回到原来的被积函数，就说明计算完成。
免责声明：本节整理分部积分法公式怎么用 的常见用法，适合日常练习和复习参考，具体题目写法请以课堂讲解和老师要求为准。
