在物理学中，单摆是一个非常经典的研究对象，它由一个质量为 \( m \) 的小球通过一根无质量且不可伸长的细线悬挂在固定点上组成。当小球偏离平衡位置并释放后，它会在重力的作用下进行往复运动。单摆的周期（即完成一次完整振动所需的时间）可以通过理论分析来推导。

首先，我们假设单摆在运动过程中只受到重力和细线拉力的作用，并忽略空气阻力等其他外力的影响。此外，还假定摆角很小，通常小于 \( 10^\circ \)，这样可以将系统的运动近似视为简谐运动。

设单摆的长度为 \( L \)，重力加速度为 \( g \)，摆球的质量为 \( m \)，而摆动的角度为 \( \theta \)。根据牛顿第二定律和力矩平衡条件，我们可以写出单摆的动力学方程：

\[ -mg\sin\theta = mL\frac{d^2\theta}{dt^2} \]

对于小角度摆动 (\( \sin\theta \approx \theta \))，上述方程可以简化为：

\[ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\theta = 0 \]

这是一个典型的二阶线性微分方程，其解的形式为：

\[ \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi) \]

其中，\( \theta_0 \) 是初始摆角，\( \phi \) 是初相位，而角频率 \( \omega \) 满足关系式：

\[ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \]

因此，单摆的周期 \( T \) 可以表示为：

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

这就是单摆周期公式的最终表达式。需要注意的是，该公式仅适用于小角度摆动的情况。对于较大的摆角，实际周期会略大于理论值，因为此时 \( \sin\theta \neq \theta \)。然而，在大多数实际应用中，这种近似已经足够准确。